Algèbre effective : autour de l'algorithme d'Euclide

Algèbre effective : autour de l'algorithme d'Euclide

I Décimales des rationnels picto

II Application de l'algorithme de Bezout picto

III Fractions rationnelles picto

IV L'algorithme d'Euclide : son coût picto

Index

I Décimales des rationnels

II Application de l'algorithme de Bezout picto

III Fractions rationnelles picto

IV L'algorithme d'Euclide : son coût picto

Index

Voici le développement décimal de quelques rationnels :

= 000 ...

= 000 ...

= 000 ...

La première remarque est que ces développements semblent périodiques à partir d'un certain rang (cliquer sur l'étoile pour en voir d'autres).

I-1 Périodicité

Voici maintenant quelques développements à dénominateur fixé.

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

Que pouvez-vous conjecturer ? Comment prévoir la taille des décalages ?

I-2 Dénominateur fixé

Et maintenant, comment calculer un chiffre quelconque du développement décimal :

I-3 Calculer un chiffre quelconque

Algorithme d'Euclide  ---> I Décimales des rationnels

I-1 Périodicité

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Théorème

Le développement décimal d'un rationnel (positif) est périodique à partir d'un certain rang. Plus précisément, écrivons le rationnel
comme une fraction irréductible avec p et q des entiers positifs et q premier à 10p. Soit n0 = max(a, b) et soit P l'ordre de 10 modulo q, c'est-à-dire le plus petit entier strictement positif tel que
Alors, le développement décimal de x est de la forme bm ... b0,a1 ... an ... avec pour n > n0.

Exercice

Développement périodique mixte

Périodicité et ordre de 10

I-2 Dénominateur fixé

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Pouvez-vous prévoir de combien est le décalage quand il y en a un ? Pourquoi pour certains dénominateurs, le motif en vert se retrouve-t-il sur chaque ligne alors que pour d'autres dénominateurs cela n'est pas le cas ? Dans le tableau de droite, on a calculé les valeurs des puissances de 10 modulo . Cela peut peut-être vous aider à répondre.

Résultat

Soit r le reste de la division euclidienne de 10i par b. Le développement décimal de est obtenu en décalant la virgule (ou le point ici !) de i positions vers la droite dans le développement de et en prenant la partie fractionnaire du nombre obtenu.

Démonstration

On écrit 10i = r + q b avec r un entier positif strictement inférieur à b. Donc,
La partie fractionnaire du développement décimal de est égale au développement décimal de et il ne reste plus qu'à réfléchir à l'effet de la multiplication par une puissance de 10 sur le développement ...
Fin de la démonstration

Remarque

Supposons le dénominateur b premier à 10. Si P est l'ordre de 10 modulo b, le nombre de valeurs différentes que prend 10i modulo b pour i entier est égale à P.

En utilisant cette remarque et en regardant simplement les développements décimaux à gauche, on peut deviner quel est l'ordre de 10 modulo . Bien sûr, cela se voit aussi avec les valeurs de droite.

I-3 Calculer un chiffre quelconque

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Objectif

Comment calculer un chiffre quelconque du développement décimal par exemple le n-ième, alors qu'on ne possède qu'une calculette avec peu de chiffres après la virgule ?

Résultat

  • pour amener ce chiffre en première position après la virgule, on multiplie par .

    Par exemple, 104 times 0.098795181 =987.95181

  • On écrit avec r un entier positif strictement inférieur à b. Donc,
    Le premier chiffre après la "virgule" de est donc égal au premier chiffre après la virgule de . Il suffit donc de calculer le premier chiffre (sur la gauche) du quotient de 10r par b.

Exercice

Arithmétique du développement

Arithmétique du développement, suite

Calculer le développement

Algorithme d'Euclide  ---> I Décimales des rationnels  ---> I-3 Calculer un chiffre quelconque

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Algorithme d'Euclide  ---> II Application de l'algorithme de Bezout

II-1 Retrouver une fraction à partir de son développement décimal

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Objectif

On connaît un nombre rationnel positif par son développement décimal à près. On sait d'autre part que son dénominateur est borné par T. Calculer x.

Analyse

Soit N = 10k. Soit b la partie entière de Nx. Elle est inférieure à N. Disons que l'approximation était donnée par défaut. on a donc
et donc
0 < s N - t b <t
On peut donc écrire s N - t b = r avec r un entier vérifiant 0 < r < t < T. On cherche donc des solutions de l'équation
x = N y + b z
vérifiant certaines inégalités.

Résultat

On fait tourner l'algorithme de Bezout sur N et b. Soit ri le premier reste inférieur ou égal à T. On obtient une équation
ri = si N + ti b

Si , alors a bien les propriétés voulues pour x.

Algorithme d'Euclide  ---> II Application de l'algorithme de Bezout  ---> II-1 Retrouver une fraction à partir de son développement décimal

II-2 Un exemple à partir d'un rationnel

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Exemple

Dans l'exemple ci-dessous que vous pouvez changer,

le nombre rationnel choisi à l'avance est et son développement décimal à près est 0,.

  • Voyez-vous le rationnel ?

  • A-t-on la majoration 2 2 < 10-9.223372 × 1018 ? Vous pouvez augmenter ou diminuer la précision.

Algorithme d'Euclide  ---> II Application de l'algorithme de Bezout  ---> II-2 Un exemple à partir d'un rationnel

II-3 Est-ce un rationnel ?

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Exemple

Vous pouvez ici vous donner

Vous cherchez un rationnel dont le développement décimal est donné à près par 0,28306611326. Si vous voulez le trouver à coup sûr ou être sûr qu'il n'existe pas, vous devez imposer que son dénominateur est borné par ? Voyez-vous le rationnel ? Existe-t-il ?

Pour voir la solution théorique, voir ce théorème .

Exercice

Recherche d'un rationnel

II-4 Un théorème pour pouvoir répondre

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Algorithme d'Euclide  ---> II Application de l'algorithme de Bezout  ---> II-4 Un théorème pour pouvoir répondre

II-4-1 L'algorithme de Bezout

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Soient a et b des entiers positifs avec . Définissons
  • les entiers r0, ... , et q1, ... , qm avec de la manière suivante : a = r0, b = r1, ... , avec et ; les qi sont strictement positifs.

  • les entiers s0, s1, ... , et t0, t1, ... , par s0 = 1, t0 = 0, s1 = 0, t1 = 1 et

Alors
  1. ri = si a + ti b pour tout i = 0 ... m+1 ;
  2. ;
  3. pgcd(si,ti) = 1 pour tout i = 0 ... m+1 ;
  4. et pour tout i = 0 ... m ; et pour tout i = 1 ... m
  5. et pour tout i = 1 ... m+1.

On peut disposer les calculs précédents de la manière suivante :

q3 est par exemple le quotient de r2 par r3 et où la ligne L4 est obtenue comme la ligne L2 - q3 fois la ligne L3.

Démonstration

On peut supposer . On définit et comme précédemment, ainsi que les suites définies par récurrence :
  • t0 = 0, t1 = 1, , .

  • s0 = 1, s1 = 1, , .

Alors pour tout
et on peut voir l'algorithme d'Euclide étendu comme une suite d'opérations élémentaires sur les lignes de ce système; donc, pour tout , on a
où la dernière matrice est l'identité. On en déduit que et donc
Mais cet inverse est aussi le produit des
dont tous les coefficients sont positifs, donc tous ses coefficients sont positifs ! On en déduit
Donc , et en particulier
   a
   b
et
  
  

(Rappelons que ri est strictement décroissante avec rm = pgcd (a, b) et .)

Les ti sont de signe alterné, ce qui se voit en comparant les matrices égales

On a donc . Comme qi > 0, nécessairement . On fait de même pour les si.
Fin de la démonstration

On démontre que le coût est en pour a et b inférieurs à N.

II-4-2 Le théorème en vue

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Soient R, T, N, b des entiers strictement positifs tels que . On fait tourner l'algorithme d'Euclide étendu avec comme entrées a = N et b. Soit l'unique indice i compris entre 1 et m + 1 tel que

[ ti est alors non nul]. On pose

Théorème

Soient R, T, N, b des entiers strictement positifs tels que Soient trois entiers r, s, t tels que r = sN + tb, , . Alors, avec les notations précédentes, le triplet (r, s, t) est un multiple entier de (r', s', t').

Attention, on n'affirme pas qu'il y a une solution, il faut ensuite vérifier que et que est inférieur à T. Par contre, si (r',s',t') ne fournit pas une solution sous les conditions de l'énoncé , c'est qu'il n'y en a pas.

Démonstration

Soient r, s, t trois entiers relatifs vérifiant
Les trois vecteurs , et appartiennent au plan d'équation x = N y + b z. On a donc
Comme , les coefficients m et n sont entiers.

  • Supposons m et n de même signe (ou nuls). Si n est non nul, , (car ri, sont positifs), ce qui est impossible. Donc

  • Si m et n sont de signe contraire, nécessairement puisque ti et sont de signe différent et que . Donc
    et

    Les trois vecteurs colonne de la matrice sont liés, leur déterminant est nul et le déterminant de est congru à 0 modulo N :

    Finalement ri t - r ti = 0. Le vecteur v est combinaison linéaire de vi et de . Comme v et vi appartiennent à un plan qui ne contient pas e, ils sont colinéaires.

Ce qui termine la démonstration.

Fin de la démonstration

Exercice

Montrer que le théorème précédent donne un algorithme pour déterminer un rationnel connaissant une borne pour son dénominateur et le début de son développement décimal sous certaines conditions. Montrer que le coût de cet algorithme de recherche d'un rationnel est en . Il est donc au pire quadratique en la taille de N.

Démonstration

On se donne donc une puissance de 10, N = 10n. On cherche un rationnel inférieur à 1 dont on connaît le développement décimal à l'ordre n (par défaut ou par excès) et dont on sait que son dénominateur est inférieur à T.

On applique le théorème précédent avec R = T. On suppose que . Si le rationnel existe, il s'agit de avec . Mais il faut vérifier que . Si cela n'est pas le cas, c'est qu'il n'y a pas de solution.

On a prouvé en particulier qu'il existe au plus un seul rationnel dont le développement décimal à l'ordre n est donné et de dénominateur borné par .

Fin de la démonstration

II-5 Retrouver un entier par ses classes résiduelles, même si certaines sont fausses

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Objectif

On a codé un entier x en calculant ses classes résiduelles modulo des entiers N1, ... , Nr premiers entre eux deux à deux : c(x) = (x1, ... , xr). L'entier est supposé plus grand que x. Mais dans la transmission de c(x), des erreurs sont survenues. Pas trop quand même, au plus L des (x1, ... , xr) sont faux. Retrouver cependant x.

Résultat

On suppose que x est inférieur à un entier Z fixé. Soit P une borne supérieure pour le produit de L parmi les entiers N1, ... , Nr (par exemple, le produit des L plus grands). On suppose que N > 4P2 Z.

Soit c1(x) = (y1, ... , yr) les classes transmises effectivement. Par le lemme chinois, il existe un entier y vérifiant

pour tout i. On applique l'algorithme d'Euclide étendu à l'entier N et à y. Soit i le plus grand entier tel que le reste ri obtenu par l'algorithme soit inférieur ou égal à Z P. On pose r' = ri, s' = si, t' = ti.

Théorème

Si t' divise r', est une solution possible.

On démontre que le coût est en .

Démonstration

Soit t le produit des Ni pour lesquels la transmission de xi est fausse. On ne connaît bien sûr pas encore t. Par définition de P, t est inférieur ou égal à P.

Posons r = t zz est l'entier cherché (le vrai message). Par hypothèse, z est inférieur à Z, donc

D'autre part
En effet, r et ty sont tous deux congrus à 0 modulo Ni si Ni est mauvais, (dans ce cas, Ni divise t) ; pour Ni bon, comme , r = tx et ty sont bien congrus modulo Ni. Soit s l'entier tel que
r = ty + sN
Comme , et , on peut appliquer le théorème : (r, s, t) est un multiple entier de (r', s', t') et
Si t' divise r', l'entier est la solution cherchée. Sinon, c'est qu'il y a d'autres fautes dans la transmission du message.

Fin de la démonstration

Exercice

Erreur dans un message Vous pouvez regarder l'exemple avant.

II-6 Un exemple

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On sait que le message est inférieur à NaN et qu'il y a au plus une erreur. Les classes résiduelles transmises sont

  • mod 3
  • mod 5
  • mod 7
  • mod 11
  • mod 13
  • mod 17
  • mod 19
  • mod 29

Par le lemme chinois , on trouve que l'entier transmis est . L'algorithme d'Euclide appliqué à 11×19×29×5×3×17×7×13 = et donne

Regardons la première ligne où le reste (colonne de gauche) est strictement inférieur à NaN =. Le nombre cherché est .

III Fractions rationnelles

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Maintenant, nous allons voir quelques analogies du côté des fractions rationnelles.

III-1 Approximant de Padé

III-2 Un exemple

III-3 Séries de Laurent

III-4 Les coefficients

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III-1 Approximant de Padé

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Définition

Soit F un corps et f une série formelle
avec fi dans F. Un (k, n - k)-approximant de Padé de f est une fraction rationnelle telle que
  • x ne divise pas t

  • ,

Soit f un polynôme de degré strictement inférieur à n et k un entier strictement inférieur à n. On exécute l'algorithme d'Euclide étendu pour xn et f. Soient ri les restes successifs obtenus. La suite des est strictement décroissante. Soit j le plus petit entier tel que . On pose r' = rj, s' = sj, t' = tj avec les notations de l'algorithme :

r' = s'xn + t'f

Théorème

Avec les notations précédentes, les polynômes r' et t' vérifient
  • , .

Pour tous polynômes s et t tels que r = s xn + t f avec , , on a (r, s, t) = w (r', s', t') pour w un polynôme.

Ainsi, si est irréductible, c'est un (k, n - k)-approximant de Padé.

Démonstration

Exercice !
Fin de la démonstration

Exercice

Approximant de Padé

III-2 Un exemple

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Exemple

Les égalités suivantes permettent de déterminer des approximants de Padé du polynôme de Taylor de tan(x) d'ordre 4 :

f =
Dans le dessin qui suit, on a représenté sur l'intervalle [-1,1] la différence entre tan(x) et un approximant de Padé

III-3 Séries de Laurent

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Définition

  • Une série formelle à coefficients dans un anneau R est une expression formelle de la forme f = a0 + a1 X + ... an Xn + ... avec les

  • Une série de Laurent est une expression formelle de la forme pour un entier relatif m.

  • Une série de Laurent renversée est une expression formelle de la forme .

On peut définir le degré d'une série de Laurent inversée f comme le plus grand entier m tel que am soit non nul ; et le coefficient dominant comme am ; on peut aussi définir la somme et le produit de deux séries de Laurent renversées

Définition

L'ensemble des séries de Laurent renversées forme un anneau appelé anneau des séries de Laurent renversées et noté

Remarque

Une série de Laurent renversée avec a un inverse si et seulement si son coefficient dominant am est inversible dans l'anneau des coefficients. Autrement dit, si F est un corps, est un corps.

L'analogie avec le développement décimal des réels est clair.

Pour voir une fraction rationnelle comme une série de Laurent renversée lorsque F est un corps, on écrit le numérateur et le dénominateur en mettant en facteur leur terme de plus haut degré, puis on fait le quotient.

= () + ...

III-4 Les coefficients

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On désire calculer le développement d'une fraction rationnelle : par exemple, étant donné k un entier positif, on veut calculer le coefficient de .

Résultat

On calcule avec .

Le coefficient de est le résidu de : si , c'est le quotient des coefficients dominants de h et de t ; si , c'est 0.

Démonstration

Le coefficient cherché est le résidu (c'est-à-dire coefficient de ) de . Comme , on a

Fin de la démonstration

Exemple

On a x21() equiv mod .

Le coefficient de dans vu comme élément de est .

Exercice

Trouver un coefficient

IV L'algorithme d'Euclide : son coût

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.

Avant de commencer, rappelons quelques notations et coûts des opérations élémentaires

IV-1 Combien ça coûte ?

Les nombres de Fibonacci permettent d'analyser le coût de l'algorithme d'Euclide.

IV-2 Nombres de Fibonacci

IV-3 Analyse de l'algorithme d'Euclide

L'algorithme du pgcd étendu permet d'obtenir des relations du type Bezout :

s a + t b = (a, b)

IV-4 Pgcd étendu

Algorithme d'Euclide  ---> IV L'algorithme d'Euclide : son coût

IV-1 Combien ça coûte ?

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Pour , on note

la taille de a. Justification: le nombre de chiffres de a, écrit en base B est , donc la taille est liée au nombre de chiffres, sans pour autant dépendre de la base de numération, ni de la représentation des entiers. On rajoute 1 pour assurer que et donc pouvoir écrire qu'une constante est . Remarquons aussi que implique .

Si , alors les algorithmes de l'école primaire (en comptant les opérations élémentaires sur les chiffres) montrent que

  • le calcul de a un coût

  • le calcul de a un coût

  • le calcul de (q,r), quotient et reste de la division euclidienne de a par b ( ), a un coût soit .

IV-2 Nombres de Fibonacci

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Les Fi sont les nombres de Fibonacci définis par la récurrence linéaire

Les équations

permettent de calculer les nombres de Fibonacci.

Analyse [calcul récursif de Fn.]

Soit Cn une majoration du coût du calcul d'un Fi pour et mn une majoration de celui nécessaire pour multiplier deux entiers inférieurs à . Les équations précédentes impliquent que
pour tout . Comme , il a O(n) chiffres, et la multiplication naïve donne
mn = O(n2)
En choisissant , on obtient Cn = O(n2).

Plus généralement, sous l'hypothèse pour , on obtient

Cn = O(mn)
car n = O(mn).

Remarque

Si on pose , alors les relations de récurrences ci-dessus montrent que Tn se calcule facilement en fonction de  :
et

Si tn majore le coût du calcul de , on a (la multiplication par 2 est une addition).

Gros avantage : l'option remember n'est plus nécessaire, puisque aucun résultat n'est calculé plusieurs fois. Le coût en mémoire est bien moindre.

IV-3 Analyse de l'algorithme d'Euclide

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Pour , on définit le pgcd (a,b) de a et b comme le générateur positif de l'idéal . En particulier (0,0) = 0.

Algorithme

Étant donnés , l'algorithme calcule leur pgcd (a,b).
  1. Fini? . Si b = 0, renvoyer a.
  2. division euclidienne . Poser (dans cet ordre) , a := b, b := r, et revenir à l'étape 1.

Démonstration

Les valeurs successives de b forment une suite décroissante (bi) dans . Cette suite est strictement décroissante tant que . Il existe donc i tel que bi = 0 (sinon on aurait une suite strictement décroissante dans ). Donc l'algorithme termine. On vérifie facilement que la valeur de retour est (a,b).
Fin de la démonstration

La formulation récursive est plus élégante, mais bien sûr équivalente:

Algorithme

Étant donnés , l'algorithme calcule leur pgcd (a,b).
  1. Si b = 0, renvoyer a.
  2. Renvoyer pgcd .

Théorème

Soit et a, b deux entiers a > b > 0 tels que l'algorithme d'Euclide appliqué à (a,b) nécessite exactement n divisions, et tels que a soit minimal pour ces conditions. Alors
où les Fi sont les nombres de Fibonacci définis par la récurrence linéaire
F0 = 0, F1 = 1.

Démonstration

En appliquant Euclide au couple proposé, on obtient successivement
soit exactement n divisions. Réciproquement, soit (a,b) satisfaisant les conditions de l'énoncé et notons , xn = b, ... , x0 = 0 la suite des 2 données, suivies des n restes calculés par Euclide. Par récurrence, on a pour tout . Soit le quotient de la division euclidienne de par xi; on a
On en déduit que pour tout par récurrence. Comme a est minimal, on en déduit , puis que les quotients successifs sont tous égaux à 1. Ainsi xi = Fi, et en particulier b = Fn.
Fin de la démonstration

Lemme

Soit Fn le n-ème nombre de Fibonacci, défini ci-dessus, et
les solutions de l'équation x2 = x+1. On a

Démonstration

L'équation caractéristique de la récurrence x2 = x + 1 admet pour solution le nombre d'or et son conjugué. Donc, il existe des constantes universelles a et b telles que
En posant F0 = 0, F1 = 1, on trouve
Fin de la démonstration

Corollaire

Si a > b > 0, le nombre d'étapes d'Euclide appliqué à (a,b) est majoré par

Démonstration

Si on a n - 1 divisions, on obtient
soit
(puisque ) et
Fin de la démonstration

Corollaire

Si , le coût du calcul de (a,b) est

En fait, on peut facilement faire mieux :

Lemme

Si , le coût du calcul de (a,b) est

Démonstration

On peut supposer que a > b > 0. Supposons, qu'on ait exactement n divisions; on sait que . On note , xn = b, , x0 = 0, la suite des restes successifs, puis pour i=1, ... , n, la suite des quotients successifs correspondants; autrement dit,
pour . Le coût des divisions est dominé par
et on remarque ensuite que
Soit finalement un coût .
Fin de la démonstration

Algorithme d'Euclide  ---> IV L'algorithme d'Euclide : son coût  ---> IV-3 Analyse de l'algorithme d'Euclide

IV-4 Pgcd étendu

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Algorithme

Étant donnés deux entiers positifs a et b, l'algorithme calcule d = (a,b), et des entiers relatifs s et t tels que a s + b t = d.
  1. Si a = 0, renvoyer d = b, s = 0, t = 1.
  2. On pose x = a, y = b, sx = 0, ty = 1.
  3. Tant que
    1. trouver q, r réalisant la division euclidienne x = q y + r.
    2. remplacer (tx, ty) par (ty, tx - qty).
    3. remplacer (x, y) par (y, x - q y)
  4. Renvoyer d = x, , et t = tx.

Démonstration

(x,y) prennent les mêmes valeurs que dans l'algorithme d'Euclide, donc l'algorithme étendu termine après le même nombre de boucles. La démonstration de l'assertion du (3) est immédiate par récurrence. On en déduit qu'en (4), , donc . Le résultat suit.
Fin de la démonstration

Tout au long de l'algorithme d'Euclide étendu, on a

En particulier les coefficients de l'identité de Bezout sa + tb = d obtenus satisfont et .

Corollaire

Si a et b sont inférieurs à N, le coût d'obtention du pgcd de a et b et des coefficients de Bezout est .

Démonstration

Le coût est dominé par
en majorant , et comme dans la section précédente. On a majoré le coût des soustractions par
Fin de la démonstration

document autour des rationnels et de l'algorithme d'Euclide du point de vue algorithmique.
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