OEF réduction d'endomorphismes --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 16 exercices sur la réduction des endomorphismes et les classes de similitude (niveau L3). La représentation en partitions est évoquée dans deux exercices et sera développée plus tard (exercices en préparation).

Décomposition semi-simple de Jordan-Chevalley

Donner la partie semi-simple de la matrice Il s'agit d'une matrice dont le polynôme minimal n'a pas de facteurs multiples, commutant avec et telle que soit nilpotente.
S =
On écrira la matrice ligne par ligne en séparant les coefficients par des virgules.

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Décomposition de Jordan-Chevalley

Une matrice A de Mn() s'écrit comme la somme d'une matrice diagonalisable S et d'une matrice N nilpotente commutant entre elles : A = S + N (décomposition de Jordan-Chevalley (Dunford)). Pour A = , calculer la matrice On écrira la matrice ligne par ligne en séparant les coefficients par des virgules.

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Partitions et décomposition de Frobenius

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie . Les invariants de similitude sont de degrés respectifs . Dessiner le diagramme de Young associé à l'endomorphisme

Pratique de Jordan

La matrice suivante est nilpotente.
On désire calculer sa décomposition de Jordan en utilisant . Donner les dimensions des noyaux de
r w
dimension
Calculer la taille des blocs de Jordan par ordre décroissant :
Choisir un vecteur engendrant un sous-espace cyclique de polynôme minimal le polynôme minimal de .
~
Choisir une forme linéaire nulle sur les pour et non nulle sur en la donnant par sa matrice ligne :
Vous avez choisi le vecteur et la forme linéaire . Soit le plus petit-espace vectoriel stable par la transposée de contenant . Donner des équations (indépendantes) du sous-espace de orthogonal à sous la forme B (x_1, ... x_)~= 0
B =
Vous avez donné comme équations de l'orthogonal de times X = 0 Donner une base dans laquelle la matrice de est la matrice de Jordan (on écrira les vecteurs en colonne dans la base canonique.)

Matrice de Jordan et noyaux itérés

La matrice suivante est telle que est nilpotente.
Donner les dimensions des noyaux de
r w
dimension

Jordan et invariants de similitude

La matrice suivante est telle que est nilpotente.
Donner les invariants de similitude de en indiquant la liste des exposants de des invariants.

Partitions et décomposition de Jordan

La matrice suivante est telle que est nilpotente. Dessiner le diagramme de Young associé à la matrice
Quelle est la dimension du noyau de ?

Nombre de classes de similitude I

Donner le nombre de des matrices à coefficients dans de polynôme caractéristique

(décomposition de en facteurs irréductibles)


Nombre de classes de similitude II

Donner le nombre de des matrices à coefficients dans de polynôme caractéristique

(décomposition de en facteurs irréductibles) et de polynôme minimal


Nombre de classes de similitude III

On associe à une matrice sur un corps la suite de ses invariants de similitudes , ..., vérifiant

Donner la longueur de la suite possible la plus longue La longueur de la suite possible la plus longue est (vous vous êtes trompé) sachant que le polynôme caractéristique de la matrice est
(décomposition de en facteurs irréductibles) et que le polynôme minimal est
.
L'exercice comporte deux étapes. Donner un exemple d'une telle suite :
( ) subset ( )

Matrices nilpotentes et tableaux de Young

Combien y a-t-il de classes de similitude de matrices carrées nilpotentes de taille telles que la dimension du noyau de soit :
Vous avez répondu . Non, il Il y a classe classes de similitude de matrices carrées nilpotentes de taille telles que la dimension du noyau de soit . Dessiner le tableau de Young associé en partant du carré bleu isolé : Voici les tableaux de Young associés à de telles classes de similitude sauf un. Le dessiner en partant du carré bleu isolé :

Polynômes d'endomorphismes et projecteurs

Soit un espace vectoriel de dimension finie et soit un endomorphisme annulé par avec et . Les deux polynômes et sont premiers entre eux. La projection de sur est un polynôme d'endomorphisme en . Quel est ce polynôme (on en prendra un de degré minimal dans [x]).

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Endomorphismes et projecteurs

Soit un espace vectoriel de dimension finie muni d'une base et soit l'endomorphisme donné par la matrice
.
Soit . Le polynôme minimal de est times avec = . Vérifier que et sont premiers entre eux et que . Calculer la matrice de la projection de sur parallèlement à
On écrira la matrice ligne par ligne en séparant les coefficients par des virgules. Pour copier-coller dans des outils : .

Endomorphisme semisimple

Soit un endomorphisme diagonalisable. Dans une certaine base, sa matrice est
Dessiner (dans la même base) une matrice commutant avec en mettant les coefficients pouvant ne pas être nuls en bleu.

Carré d'un endomorphisme nilpotent

Soit une matrice carrée nilpotente dont le diagramme de Young est le suivant

Dessiner le diagramme de Young de The most recent version


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Description: collection d'exercices sur la réduction des endomorphismes. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, mathematics, linear algebra, algebra, endomorphisme, réduction, jordan, chevalley, dunford