Isométries de l'espace

Sommaire

Ce document présente les isométries de l'espace affine euclidien orienté de dimension 3, noté E. L'espace vectoriel euclidien associé est noté .

Vous pouvez consulter ce document page à page ou à partir du tableau des isométries.

Il a pour base la partie VI du polycopié "Géométrie euclidenne" rédigé par Marie-Claude DAVID, Daniel PERRIN, Frédéric HAGLUND et utilisé à la préparation au CAPES de mathématiques à Orsay (Université Paris-Sud).

Les isométries vectorielles

Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal

Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle

Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3 (isométries vectorielles admettant trois valeurs propres réelles)

Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle

Liste des isométries vectorielles (définitions)

Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie

Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice
dans une base othonormée directe

Orientation d'un plan vectoriel de l'espace par un vecteur normal

Soit un plan vectoriel de et soit un vecteur unitaire orthogonal à . Par définition, l'orientation de définie par est la suivante : si est une base orthonormée de , on dit que est directe si la base est directe.

Remarque : Attention, si l'on change en , l'orientation de est renversée.

Droites propres et plans stables par une isométrie vectorielle

Comme est de dimension 3, tout endomorphisme de admet une ou trois valeurs propres réelles (comptées avec leur multiplicité)
Le polynôme caractéristique de l'endomorphisme est de degré 3 donc s'annule au moins une fois sur .

Proposition : Soit une isométrie vectorielle admettant la valeur propre réelle lambda, soit une droite propre associée à lambda et soit le plan orthogonal à . Alors, on a lambda = pm 1 et le plan est stable par f.

Démonstration : Les valeurs propres d'une isométrie sont pm 1

En effet, si est un vecteur propre non nul associé à la valeur propre lambda, on a
. La stabilité du plan orthogonal vient de la conservation de l'orthogonalité et de la stabilité de .

Corollaire : Une droite vectorielle est stable par une application linéaire si et seulement si c'est une direction propre pour cette application linéaire. Un plan est stable par une isométrie vectorielle si et seulement s'il est orthogonal à une direction propre.

Les symétries orthogonales de l'espace vectoriel de dimension 3

La proposition suivante permet d'affirmer qu'une isométrie vectorielle qui admet trois valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) est diagonalisable, et plus précisément une symétrie orthogonale (bien sûr).

Proposition : Soit une isométrie vectorielle admettant 3 valeurs propres réelles. Alors est une symétrie orthogonale.

Démonstration : Soit une droite propre de pour la valeur propre lambda = pm 1 . Comme le plan est stable par , la restriction est une isométrie de qui admet deux valeurs propres réelles. Vue la classification des isométries en dimension 2, est donc l'identité, la symétrie centrale ou une symétrie axiale. Dans tous les cas, est diagonalisable et donc aussi. Comme les valeurs propres de sont pm 1, il en résulte que est une symétrie.

Liste des symétries orthogonales

Soit la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace de . Il y a quatre cas :

Les isométries vectorielles admettant une seule valeur réelle

Proposition : Soit une isométrie vectorielle admettant une unique valeur propre réelle lambda, soit la droite propre associée à lambda et le plan orthogonal à .
  1. La restriction de à est une rotation de .
  2. Si on a lambda = 1 (resp. lambda = -1) l'isométrie est positive (resp. négative).
  3. Si est un vecteur unitaire de , il existe un unique réel theta modulo 2pi tel que la matrice de dans toute base orthonormée directe de premier vecteur soit

Démonstration : Comme n'a pas de valeur propre réelle, la classification des isométries planes montre que c'est une rotation. Cela prouve les points 1 et 2.

On considère l'orientation de définie par . Si est une base directe de , est alors une base directe de et si theta est l'angle de la rotation dans muni de cette orientation , on a bien la matrice annoncée dans .

Liste des isométries vectorielles

Les symétries orthogonales

Soit la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace de . Il y a quatre cas :

Les rotations

Soit une isométrie vectorielle admettant une matrice du type
dans une base orthonormée directe .

On dit que est la rotation vectorielle d'axe orienté et d'angle theta in /2pi et on la note .

Une rotation est une isométrie positive.

Remarques

  1. On notera que toutes les isométries vectorielles positives sont des rotations. Les demi-tours sont des rotations d'angle pi. En particulier elles admettent 1 comme valeur propre.
  2. Attention, si on change l'orientation de , l'angle de la rotation est changé en son opposé:
    .
    Cependant, l'angle de l'identité qui est nul et celui des demi-tours qui vaut pi ne changent pas si l'on change l'orientation de l'axe.

Les antirotations

Soit une isométrie vectorielle admettant une matrice du type
dans une base orthonormée directe avec theta neq 0, pi (mod 2pi).

On dit que est l'antirotation vectorielle d'axe et d'angle theta.

Une antirotation est une isométrie négative.

Cette appellation nous semble commode, mais elle n'est pas standard. La plupart des auteurs ne donnent pas de nom spécifique à cette transformation.

Forme de la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée bien choisie

Toutes les isométries vectorielles admettent une matrice de la forme
dans une base orthonormée bien choisie .

En effet, on retrouve

et bien sûr

On notera que, sauf dans le cas des symétries orthogonales, la droite engendrée par est bien déterminée : c'est la droite propre relative à lambda .

Remarques :

  1. La matrice d'une symétrie orthogonale est symétrique dans toute base orthonormée.
    En effet, si A est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une base orthonormée, elle vérifie et comme elle est orthogonale, elle vérifie aussi , dans A est symétrique.
  2. Dans la pratique, il n'est pas nécessaire de trouver la base où la matrice de est de cette forme pour déterminer sa nature (Voir la suite) .

Nature d'une isométrie vectorielle donnée par sa matrice
dans une base othonormée directe

Soit B une base orthonormée directe de et une isométrie de de matrice A dans B. Exercice 1 : Déterminer une matrice orthogonale.

Exercice 2 : Reconnaître un demi-tour, une réflexion, une rotation, une antirotation sur sa matrice.
Exercice 3 : Etude d'une rotation donnée par sa matrice.
Exercice 4 : Déterminer les éléments caractéristiques d'une rotation ou d'une antirotation.

Les isométries affines

Résultats importants de géométrie affine

Les déplacements de l'espace

Les antidéplacements de l'espace

Droites et plans stables par une isométrie affine

Exercices

Résultats importants de géométrie affine

Valeur propre 1 et points fixes

Proposition : Soit f une application affine d'un espace affine E de dimension finie dans lui-même et soit l'application linéaire associée à f. Alors, l'application f admet un unique point fixe si et seulement si 1 n'est pas valeur propre de .

Commutation avec une translation

Proposition : Soient g une application affine d'un espace affine E de dimension finie dans lui-même et un vecteur de . Les applications g et commutent si et seulement si appartient à

Décomposition des applications affines

Théorème : Si une application affine f de E dans E vérifie :
alors f s'écrit de manière unique où
  1. g est une application affine admettant un point fixe,
  2. le vecteur appartient à
  3. g et commutent.

D'après la proposition précédente, les affirmations (2) et (3) du théorème sont équivalentes.

Cas particulier des isométries affines

Corollaire : Une isométrie affine vérifie les hypothèses du théorème de décomposition des applications affines.

Les déplacements de l'espace

Théorème : Les déplacements de E sont :

Démonstration : Soit f un déplacement et l'application linéaire associée. En vertu de la liste des isométries vectorielles , est une rotation vectorielle d'angle . Si theta est nul, est l'identité, donc f est une translation ou l'identité. Sinon, comme admet la valeur propre 1, il y a deux cas :

  1. L'application f a un point fixe : dans ce cas elle a toute une droite de points fixes et c'est une rotation ,
  2. L'application f n'a pas de point fixe : dans ce cas, elle s'écrit comme composée d'une rotation et d'une translation de vecteur non nul (appartenant à la direction de l'axe de la rotation) qui commutent d'après le théorème de décomposition . C'est alors un vissage .

Définition d'une rotation affine

Soit D une droite, orientée par le choix d'un vecteur non nul de , et soit .

On appelle rotation d'axe orienté et d'angle theta l'application affine notée définie par :

  1. pour tout point a de D,
  2. est la rotation vectorielle d'axe et d'angle theta.