OEF systèmes différentiels physiques. --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur la modélisation de problèmes physiques par des systèmes différentiels linéaires.

Solutions salines en cascade

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.

On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Quelle est la couleur de la courbe représentant ?

Calculer l' instant où le premier récipient contient la même quantité de sels que le récipient numéro où la quantité de sels est maximale dans le récipient numéro (si dépasse , rentrer ).

Solutions salines en circuit circulaire

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.

On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de est ..., calculer les limites des autres concentrations.

Solutions salines et oscillations

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.

On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Les concentrations tendent vers une limite. Le font-elles en oscillant ? Si oui, donner les valeurs des pseudo-périodes qui peuvent intervenir. Sinon, rentrer 0.

Solutions salines et vecteurs propres

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.

On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Calculer un vecteur propre non nul de la matrice A à coefficients entiers pour la valeur propre 0. Sachant que la limite de est ..., calculer les limites des autres concentrations.

Solutions salines en circuit fermé

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.

On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Calculer les valeurs limites des quantités de sels dans chaque bidon.

Solutions salines

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire la matrice .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.

On modélise le système par le système différentiel :

Voici les courbes solutions du système différentiel (avec conditions initiales données) représentant Am , xrange 0, yrange -2,+1 hline 0,0,black vline 0,0, black trange 0,

Calculer les dérivées des fonctions en .

Mélange de solutions (modélisation)

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire les matrices et .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.


Mélange de solutions (modélisation) II

bidons sont remplis initialement (pour ) de , d' une solution saline et contiennent alors , de sel. Il y a des flux de mélange entre les bidons comme indiqué sur le dessin ci-dessous : On note Am , les quantités de sels respectivement dans chaque bidon à l' instant .

On cherche à modéliser la situation par un système différentiel vérifié par les fonctions

Ecrire les matrices et .

Consigne : séparer les éléments d' une même ligne d' une matrice par des virgules ou laisser un blanc.


Solution à volume constant

xrange -1.1,3 yrange -1.1,3 lines black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 line 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue line 0.9,2,0.9,2.5,black line 1.1,2,1.1,2.3,black line 1.1,2.3,3,2.3,black line 0.9,2.5,3,2.5,black line 1.1,0,1.1,-1,black line 1.3,0,1.3,-0.8,black line 1.3,-0.8,3,-0.8,black line 1.1,-1,3,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium, m^3 text black,1.8,2.8,medium, g/m^3 text black,1.8,2.2,medium, m^3/s text black,1.8,-0.4,medium, m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black
Un bidon contient à l'instant un volume de liquide de . Il est alimenté avec un débit de d'un mélange contenant de sels. Il sort en même temps du mélange supposé homogène. On note la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant .

Quelle quantité de sels en entre-t-il à l'instant t ? Quelle quantité de sels en sort-il à l'instant t ?

En effet, il entre et il sort de sels à l'instant t. L'équation différentielle vérifiée par est

= -



Solution et EDO

xrange -1.1,3 yrange -1.1,3 lines black, 2,0,0,0,0,2,2,2,2,0 line 0,1.5,2,1.5,black fill 1,1,skyblue line 0.9,2,0.9,2.5,black line 1.1,2,1.1,2.3,black line 1.1,2.3,3,2.3,black line 0.9,2.5,3,2.5,black line 1.1,0,1.1,-1,black line 1.3,0,1.3,-0.8,black line 1.3,-0.8,3,-0.8,black line 1.1,-1,3,-1,black fill 2.3,2.4,skyblue fill 1.5,-0.9, skyblue text black,0.9,0.9,medium, m^3 text black,1.8,2.8,medium, g/m^3 text black,1.8,2.2,medium, m^3/s text black,1.8,-0.4,medium, m^3/s arrow 2.3,2.4,1.5,2.4,20,black arrow 1.5,-0.9,2.3,-0.9,20,black
Un bidon contient à l'instant un volume de liquide de . Il est alimenté avec un débit de d'un mélange contenant de sels. Il sort en même temps du mélange supposé homogène. On note la quantité de sels en grammes dans le bidon à l'instant .

Quelle quantité de sels en entre-t-il à l'instant t ? Quelle quantité de sels en sort-il à l'instant t ?

En effet, il entre et il sort de sels à l'instant t. L'équation différentielle vérifiée par est

= -

A l'instant la concentration de sels dans le bidon est nulle. et le bidon a un volume de . Calculer l'instant où le bidon est plein. Calculer l'instant où le bidon s'est vidé de moitié. Quelle est alors la concentration de sels ?
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Description: collection d'exercices sur les systèmes différentiels linéaires. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games

Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra,analysis, differential_system, valeur propre, diagonalisation,modélisation